本科生教育

数学物理方法教学大纲

一、课程的性质和任务

本课程为高等院校物理专业开设的一门数学课程.其任务是使学生在高等数学和普通物理的基础上,学习数学物理中的常用方法为主,适当了解近年来的新发展,为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备,也为今后工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。

 

二、课程的基本要求

1.掌握复变函数的基本理论和基本方法,特别是掌握解析函数的基本性质及其应

用;

2.学习数学物理方程的基本理论和基本方法,特别是学习几种常见类型的数学物理方程的建立和求解的方法;

3.了解和掌握数学物理中常用的几种特殊函数。

三、课程内容

第一篇复变函数论

()复数与复变函数:

1.教学内容

复数、复变函数的基本概念、复球面与无穷远点。

2.教学要求

复数的运算要熟练,正确理解区域、单连域,多连域,简单曲线等概念。正确理解复变函数及与之有关的概念。

()解析函数:

1.教学内容

解析函数的概念及哥西一黎曼条件,解析函数与调和函数的关系,初等解析函数。

2.教学要求

正确理解复变函数的导数。解析函数等基本概念,掌握并能运用CR条件,要知道解析函数与调和函数的关系,并能从已知调和函数uv,求解析函数u+iv。记住初等解析函数的定义和主要性质。

()哥西定理,哥西积分:

1.教学内容

复变积分的概念及其简单性质,哥西积分定理及其推广,哥西积分公式及其推广。

2.教学要求

正确理解复变函数积分的概念,掌握复变积分的一般计算法,掌握并能运用哥西积分定理,复合闭路定理和哥西积分公式,高阶导数公式,特别要能运用它们来计算积分。

()解析函数的级数表示:

1.教学内容

函数项级数的基本性质,幂级数与解析函数,罗朗级数,单值函数的孤立奇点。

2.教学要求

正确理解级数收敛、发散与绝对收敛等概念,清楚地知道幂级数的收敛范围是圆域以及它在收敛圆内的性质,有理运算和分析运算,要求会把比较简单的解析函数展成泰勒级数并指出其收敛半径,要求会把较简单的函数环绕它的孤立奇点展成罗朗级数,正确理解孤立奇点的概念及其分类。

()残数及其应用:

1.教学内容

残数、利用残数计算实积分。

2.教学要求

正确理解函数在孤立奇点的残数概念,掌握并能应用残数定理,掌握残数的计算法,并能利用残数计算某些实积分。

第二篇数学物理方程

()一维波动方程的付氏解:

1.教学内容

一维波动方程一弦振动方程的建立.齐次方程混合问题的付氏解法(分离变量法),强迫振动、非齐次方程的求解。

2.教学要求

学习如何建立弦振动方程及提出方程的定解条件:掌握用分离变量法求解齐次方程混合问题并了解其解的物理意义,掌握非齐次方程的求解及边界条件齐次化的方法。

()热传导方程的付氏解:

1.教学内容

热传导方程的建立,混合问题的付氏解法,初值问题的付氏解法。

2.教学要求

学习如何建立热传导方程,掌握热传导方程混合问题的付氏解法,掌握利用付氏积分求解热传导方程初值问题的方法并了解其解的物理意义。

()拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解:

1.教学内容

圆的狄利克雷问题,δ函数。

2.教学要求

知道圆的狄利克雷问题的提法,并掌握该问题的付氏解法,正确理解并掌握δ函

数的基本性质。

()波动方程的达朗贝尔解:

1.教学内容

弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法。

2.教学要求

掌握弦振动方程初值问题的达朗贝尔解法,懂得解的物理意义,正确理解依赖区间、决定区域、影响区域等概念。

()付里叶变换:

1.教学内容

付氏变换的定义及其基本性质,用付氏变换解数理方程举例、基本解。

2.教学要求

正确理解付氏变换的定义及其基本性质,掌握用付氏变换法求解某些数理方程,知道基本解的定义及其物理意义。

第三篇特殊函数

(十一)勒让德多式、球函数:

1.教学内容

勒让德微分方程及勒让德多项式,勒让德多项式的母函数及其递推公式,按勒让德多项式展开,拉普拉斯方程在球形区域上的狄利克雷问题。

2.教学要求

了解勒让德方程如何导出和求解过程,掌握勒让德多项式的定义及各种表达式,知道如何利用母函数导出勒让德多项式的递推公式,掌握按勒让德多项式展开及利用勒让德多项式求解某些数理方程的方法。

(十二)贝塞尔函数、柱函数:

1.教学内容

贝塞尔微分方程及贝塞耳函数,贝塞耳函数的母函数及其递推公式,按贝塞尔函数展开,圆膜振动问题的求解。

2.教学要求

了解贝塞尔微分方程如何导出和求解过程,掌握贝塞耳函数的定义及各种表达式,知道如何利用贝塞尔函数的母函数导出其递推公式,掌握按贝塞尔函数展开及利用贝塞耳函数求解某些数理方程的方法。

 

四、课时分配

序号

课程内容

教学课时

讲授

习题课

合计

1

复数与复变函数

3

1

4

2

解析函数

3

1

4

3

哥西定理哥西积分

3

1

4

4

解析函数的级数表示

6

2

8

5

残数及其应用

3

1

4

6

一维波动方程的付氏解

3

1

4

7

热传导方程的付氏解

3

1

4

8

拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解

3

1

4

9

波动方程的达朗贝尔解

1

 

1

10

付里叶变换

2

1

3

11

勒让德多项式、球函数

5

2

7

12

贝塞耳函数、柱函数

5

2

7

 

40

14

54

 

五、大纲实施说明

1.大纲贯彻少而精的原则,着重让学生掌握最基本的理论知识和计算方法,在讲授过程中紧密联系物理实际,但也注意保证数学概念的严格性和理论的系统性。

2.本课程紧接在高等数学课之后,总课时为54课时。大纲中规定的时数分配仅供参考,内容次序也可以适当变动。


 

 


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